-मधुसूदन
माना 12 कोई दी गई संख्या है। स्पष्टतया 1,2,3,4,6 तथा 12 इसके भाजक हैं। अतः 12 के भाजकों की संख्या 6 है। प्रश्न है कि क्या किसी भी दी गई धन पूर्णांक संख्या (positive integer number) के भाजकों (denominators) की संख्या, वास्तव में भाजकों को निकाले बिना बताई जा सकती है? उत्तर हां में है,जैसा कि नीचे बताया गया है -
स्पष्टतया 12=2²×3¹ (दी गई संख्या को अभाज्य संख्याओं (prime numbers) की घातों के रूप में लिखा),जहां घातें 2 तथा 1 हैं। यदि प्रत्येक घात में 1 जोड़कर इन्हें गुणा किया जाए तो हमें 6 प्राप्त होता है अर्थात (2+1)(1+1)=6, जो कि 12 के भाजकों की कुल संख्या है। एक और उदाहरण लेते हैं। माना इस बार दी गई संख्या 4032 है। इसे अभाज्य संख्याओं की घातों के रूप में लिखने पर 4032=2⁶×3²×7¹, अतः इसके भाजकों की संख्या=(6+1)(2+1)(1+1)=7×3×2=
अब प्रश्न खड़ा होता है कि दी गई धन पूर्णांक संख्या के भाजकों की संख्या निकालने के लिए यह तरीका क्यों काम कर रहा है? इसका कारण इस प्रकार है:-
12 = 2²×3¹ का कोई भी भाजक 2^a×3^b के रूप का होगा जहां a को 0,1 तथा 2 लिया जा सकता है तथा b को 0 तथा 1 लिया जा सकता है। अतः a को चयनित करने के 3 तरीके हैं तथा b को चयनित करने के दो तरीके हैं। अता भाजकों को चयन करने के कुल तरीके 3×2=6 हो गए।
कुल मिलाकर इस प्रकार से बड़ी से बड़ी धन पूर्णांक संख्या के भाजकों की संख्या निकाली जा सकती है।
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